তৃতীয় অধ্যায় পাঠ-৯ বুলিয়ান উপপাদ্যসমূহ ও ডি-মরগানের উপপাদ্য।

এই পাঠ শেষে যা যা শিখতে পারবে-

• ১। বিভিন্ন বুলিয়ান উপপাদ্য ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• ২। ডি-মরগ্যান উপপাদ্যসমূহ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• ৩। সত্যক সারণির সাহায্যে ডি-মরগ্যান উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারবে।
• ৪। সত্যক সারণির সাহায্যে যেকোন বুলিয়ান সমীকরণ প্রমাণ করতে পারবে।

বুলিয়ান উপপাদ্যঃ যেসব উপপাদ্য ব্যবহার করে জর্জ বুল সকল প্রকার যুক্তিসংগত বিষয়ের গাণিতিক রুপ প্রদান করেছেন সেই উপপাদ্য গুলোকে বুলিয়ান উপপাদ্য বলা হয়।

মৌলিক উপপাদ্যঃ

ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যঃ ফরাসি গণিতবিদ ডি-মরগ্যান, বুলিয়ান ফাংশন সরলীকরণ করার জন্য দুটি সূত্র আবিষ্কার করেন।

প্রথম উপপাদ্যঃ যেকোন সংখ্যক চলকের যৌক্তিক যোগের কমপ্লিমেন্ট প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক গুণের সমান। n সংখ্যক চলকের জন্য প্রথম উপপাদ্য-

দ্বিতীয় উপপাদ্যঃ যেকোন সংখ্যক চলকের যৌক্তিক গুণের কমপ্লিমেন্ট প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক যোগের সমান। n সংখ্যক চলকের জন্য দ্বিতীয় উপপাদ্য –

A ও B দুটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি নিম্নরূপ−

A ,B ও C তিনটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি নিম্নরূপ−

সত্যক সারণির সাহায্যে বুলিয়ান সমীকরন বা উপপাদ্যের প্রমানঃ

সত্যক সারণির সাহায্যে বুলিয়ান সমীকরণ প্রমাণের জন্য নিমোক্ত ধাপসমূহ অনুসরণ করা হয়-

• ১। বুলিয়ান সমীকরণটিতে ব্যবহৃত মোট চলক সংখ্যা নির্ণয় করতে হয়। n সংখ্যক চলকের জন্য সত্যক সারণিতে ২n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন ইনপুট সেট হয়।
• ২। সত্যক সারণির মূল কাঠামো তৈরির জন্য সমীকরণে যতোগুলো চলক আছে ততোগুলো কলাম এবং ২n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন ইনপুট সেট দেওয়ার জন্য ২n সংখ্যক সারি বা রো তৈরি করতে হয়।
• ৩। সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান প্রমাণের জন্য বামপক্ষ ও ডানপক্ষের সকল প্রোডাক্ট টার্ম নির্নয় করতে হয়।প্রোডাক্ট টার্ম নির্নয় করার জন্য প্রয়োজনীয় সাব-প্রোডাক্ট টার্ম নির্নয় করতে হয়। এক্ষেত্রে বিভিন্ন সাব-প্রোডাক্ট টার্ম বা প্রোডাক্ট টার্ম নির্নয়ের জন্য অতিরিক্ত কলাম তৈরি করতে হয়।

A ও B  দুইটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যদুটি সত্যক সারণির সাহায্যে প্রমাণঃ 

A , B ও C  তিনটি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণ

পাঠ মূল্যায়ন- 

• ক। বুলিয়ান উপপাদ্য কী?
• ক। ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য লেখ।
• খ। ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণ দাও।
• খ। N সংখ্যক চলকের ক্ষেত্রে ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য ব্যাখ্যা কর।